Question

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对于任意正整数n，有，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

Answer

（1）分别令x1=x2=0，x1=1，x2=0，f（x）=f（1），又因为f（x）为单调函数，从而可求x的值；
（2）由（1）得f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=n，x2=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（n）=2n-1．故可求an进而可有 ，从而可求通项，故可证；
 （3）构造函数F（n）=an+1+an+2+…+a2n，证明n≥2时，为单调减函数，从而可求x的取值范围．
【解析】
（1）令x1=x2=0⇒f（x）=-f（0）．又令x1=1，x2=0，f（1）=-f（0）．
∴f（x）=f（1），由函数f（x）单调性知，x=1．
（2）由（1）知，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+f（1）=f（x1）+f（x2）+1，
由x1，x2的任意性，令x1=n，x2=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，
∴f（n）=2n-1．（n∈N*）．
∴．
又∵．
又∵，
∴．
∴．
由数列求和方法知：，．∴．
∵4n=（3+1）n=Cnn3n+Cnn-13n-1+…+Cn13+Cn≥3n+1＞2n+1，∴．
（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n⇒F（n+1）-F（n）=a2n+1+a2n+2-an+1=（通分易证）∴当n≥2时，．
∴．
解此不等式，所以x的取值范围为．