Question

已知函数f（x）=+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单调性并给出证明．

Answer

（1）函数f（x）=+a是奇函数，可得方程f（x）+f（-x）=0代入函数解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函数f（x）=+，由解析式形式知f（x）=+在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，由定义证明即可
【解析】
（1）函数f（x）=+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0
∴+a++a=0，解得a=
∴函数f（x）=+
（2）由（1）得f（x）=+在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x1＜x2则
f（x1）-f（x2）==
当x1，x2∈（0，+∞）时，＞0，＞0，，所以＞0，
有f（x1）-f（x2）＞0
当x1，x2∈（-∞，0）时，＜0，＜0，，所以＞0，
有f（x1）-f（x2）＞0
 综上知，
f（x）=+在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数