Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．
（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数．

Answer

（1）先将 用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得：，由此式即可求得实数a的取值范围；
（2）a＞0，△=16+8a＞0，
当0＜a≤6时，f（1）=a+2＞0，f（-1）≤0，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；a＞6时，，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
【解析】
（1）∵
=
=，
∵x1≠x2，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵a＞0，
∴△=16+8a＞0，
①a＞0时，f（1）=a+2＞0，
当0＜a≤6时，总有f（-1）≤0，
故0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
②a＞6时，，
故a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
综上所述，0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．