Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0）点在这个椭圆上．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer

（1）直接根据点在这个椭圆上得到求出a，再结合c=1即可求出椭圆的标准方程；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），把直线方程与椭圆方程联立求出关于M、N两点坐标的方程，根据中点坐标公式即可求出线段MN的中点P的轨迹方程．注意斜率不存在时也要讨论．
【解析】
（1）由已知得，，∴．∵c=1，∴b=1．
∴所求椭圆的方程为=1．…（4分）
（2）由（1）得F1（-1，0）．
当直线l的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y）．
联立
消元，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．…（8分）
∴．从而y1+y2=k（x1+x2+2）=．
∴
当k=0时，中点P就是原点．k≠0时，x≠0且y≠0．
则，代入．
因为y≠0，所以x2+2y2+x=0．…（10分）
当直线l的斜率不存在时，线段MN的中点为F1．
所以，所求轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（12分）