Question

已知圆C的圆心在直线x-3y=0上，圆C截直线y=x所得的弦长为，且与y轴相切，试求圆C的方程．

Answer

设出圆心C的坐标为（a，b），半径为r，根据圆心C在直线x-3y=0上，列出关于a与b的关系式，用b表示出a，同时根据圆C与y轴相切，得到圆的半径r=|a|，由直线y=x与圆相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可．
【解析】
设圆C的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
此时圆心坐标为（a，b），半径为r，
把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b，
又圆C与y轴相切，∴r=|a|，
∵圆心C到直线y=x的距离d==|b|，弦长的一半为，
∴根据勾股定理得：2b2+7=a2=9b2，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此时圆C的标准方程为（x-3）2+（y-1）2=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此时圆C的标准方程为（x+3）2+（y+1）2=9，
综上，圆C的标准方程为（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．