Question

已知点列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）顺次为一次函数图象上的点，点列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成一个顶角的顶点为B_n的等腰三角形．
（1）求数列{y_n}2的通项公式，并证明{y_n}3是等差数列；
（2）证明x_n+2-x_n5为常数，并求出数列{x_n}6的通项公式；
（3）问上述等腰三角形A_n8B_n9A_n+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数，可得数列{yn}的通项公式，进而有{yn}是等差数列；
（2）根据△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形，可得，两式相减，即可求出数列{xn}的通项公式；
（3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则，根据（2）分n为奇数、偶数时，进行讨论，可求此时a值．
【解析】
（1）∵点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数
∴
∴
∴{yn}是等差数列；
（2）∵△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形
∴．∴xn+2-xn=2
∴
（3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则
当n为奇数时，xn+1-xn=2（1-a），∴
∴
n=1，得，n=3得，n≥5，则无解；
当n为偶数时，同理得
 n=2，得 ，n≥4，则无解；
∴存在直角三角形，此时a值为