Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
（3）若对x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x₁，x₂）．

Answer

（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；
（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足-2＜x2＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．
（3）构造函数g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．
【解析】
（1）因为f（1）=0，
所以a+b+c=0，
又因为a＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b2-4ac＞0，
因此f（x）的图象与x轴有2个交点．
（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，
因为f（1）=0，
所以f（x）=0的一根为x1=1，
因为x1+x2=-，x1x2=，
所以x2=--1=，
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x2＜0．
因为要求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x1，x2），
因此m∈（-2，1），
则m+3＞1，
因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（3）构造函数g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，
则g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）-f（x2）]，
g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）-f（x1）]，
于是g（x1）g（x2）=[f（x1）-f（x2）][f（x2）-f（x1）]
=-[f（x1）-f（x2）]2，
因为f（x1）≠f（x2），
所以g（x1）g（x2）=-[f（x1）-f（x2）]2＜0，
所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，
即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．