Question

设正数数列{a_n}的前n项和是b_n，数列{b_n}的前n项之积是c_n，且b_n+c_n=1（n∈N^*），则的前10项之和等于    ．

Answer

由题意可得，，由bn+cn=1可得bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1即2bn+1-bnbn+1-1=0，则bn+1-1=bn+1（bn-1）=（bn-1）（bn+1-1+1）=（bn-1）（bn+1-1）+（bn-1），从而可得 ，由等差数列的通项公式可得，可求 ，利用递推公式an=bn-bn-1可求an
【解析】
由题意可得，
bn+cn=1
∴bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn
=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1
∴2bn+1-bnbn+1-1=0
∴bn+1（2-bn）=1
∴0＜bn＜2
若bn+1=1则bn=1，bn-1=bn-2=…=b1=1与 矛盾
∴bn+1≠1
∴bn+1-1=bn+1（bn-1）
=（bn-1）（bn+1-1+1）
=（bn-1）（bn+1-1）+（bn-1）
∴
∴且
∴是以-2为首项，以-1为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，=-n-1
∴
∴an=bn-bn-1==
∴
所以的前10项之和等于12+22+…+102+（1+2+3+…+10）=440
故答案为：440．