Question

已知向量=（sinx，cosx），=（sinx+2cosx，3cosx），f（x）=，x∈R．求
（Ⅰ）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间．

Answer

（I）根据向量数量积的运算并且结合利用二倍角公式，两角和的正弦函数，化简函数为 ，然后结合正弦函数的性质求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（II）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f（x）的单调增区间．
【解析】
因为向量=（sinx，cosx），=（sinx+2cosx，3cosx），
所以．…（2分）
（Ⅰ）由，解得．
所以f（x）的最大值为2+，…（4分）
此时自变量x的集合为．…（6分）
（Ⅱ）由，解得．
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．…（12分）