Question

已知动点P到直线x=-1的距离与到定点C的距离的差为．动点P的轨迹设为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点A（-4，0）的直线与曲线C交于E、F两点，定点A'（4，0），求直线A'E、A'F的斜率之和．

Answer

（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C的距离等于到定直线的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．联立方程组，得，由此能够求出直线A′E、A′F的斜率之和．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C的距离等于到定直线的距离，
所以动点P的轨迹为抛物线，
且=，
P=1．
所以点P的轨迹方程为y2=2x．…（6分）
（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．
联立方程组，
消去x，得．…（8分）
设E（x1，y1）、F（x2，y2），
则y1•y2=8，且y12=2x1，y22=2x2．
∵，
∴
=
=．
由y1•y2=8，得kA'E+kA'F=0．…（14分）