利用g′(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立得出λ≤-cosx再结合三角函数的性质即可求λ的取值范围;先利用函数f(x)在[-1,1]上单调递减,求出其最大值,再把f(x)≤t2-λt+1在x∈[-1,1]上恒成立转化为其最大值小于等于t2-λt+1恒成立,进而得到(1-t)λ+t2+sin1+1≥0(其中λ≤-1)恒成立,再利用一次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围.
【解析】
f(x)=λx+sinx是区间[-1,1]上的减函数
f′(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立
∴λ≤-cosx.…(5分)
又∵cosx∈[cos1,1],
∴-cosx∈[-1,-cos1].
∴λ≤-1.…(8分)
∵f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
因为f(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,
∴f(x)max=g(-1)=-λ-sin1.
只需-λ-sin1≤t2+λt+1.
∴恒成立.
令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1,
则
∴
而t2-t+sin1≥0恒成立,
∴t≤-1.
故选B.