Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设N*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．

Answer

（Ⅰ）需要观察题设条件进行恒等变形，构造an-1=c（an-1-1）利用迭代法计算出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项，观察知应用错位相减法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知an=（a-1）cn-1+1．接合题设条件得出，．然后再用反证法通过讨论得出c的范围．
【解析】
（Ⅰ）由题设得：n≥2时，an-1=c（an-1-1）=c2（an-2-1）=…=cn-1（a1-1）=（a-1）cn-1．
所以an=（a-1）cn-1+1．
当n=1时，a1=a也满足上式．
故所求的数列{an}的通项公式为：an=（a-1）cn-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：.，
∴．
∴
所以∴．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知an=（a-1）cn-1+1．
若0＜（a-1）cn-1+1＜1，则0＜（1-a）cn-1＜1．
因为0＜a1=a＜1，∴．
由于cn-1＞0对于任意n∈N+成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1．由函数f（x）=cx的图象知，当n→+∞时，cn-1→+∞，
所以不能对任意n∈N+恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1