(1)本题求数列的通项公式,关键是构造数列{an+1-an},再利用等比数列的通项公式求出即可,要注意对t的讨论.
(2)已知bn,求出=(tn+t-n),,接下来的关键是利用t的范围,判断2n+2-n>tn+t-n,也就求出<(2n+2-n),从而求出++…+<2n-(1+),再利用均值不等式1+>2的值,即可证明.
【解析】
(1)由题意得:f′()=0,
即3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0
故an+1-an=t(an-an-1)(n≥2),
则当t≠1时,数列{an+1-an}是以t2-t为首项,t为公比的等比数列,
所以an+1-an=(t2-t)tn-1
由an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=t+(t2-t)[1+t+t2+…+tn-2]
=t+(t2-t)•=tn
此式对t=1也成立,所以an=tn(n∈N*).
(2)=(an+)=(tn+t-n),
因为<t<2,所以(2t)n>1,tn<2n.
则(2n+2-n)-(tn+t-n)=(2n-tn)[(2t)n-1]>0,
有<(2n+2-n),
故++…+<[(2+)+(22+)+…+(2n+)]=2n-(1+),
∵1+>2
∴++…+<2n-=2n-即证.