Question

定义在R上的f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，α，β是钝角三角形的两锐角，则下列正确的个数是（ ）
①f（sinβ）＜f（cosα）；
②f（sin（-α）＜f（cosβ）；
③f（cosα）＞f（sin（-β））；
④f（sinα）＞f（cosβ）．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

本题考查的是函数的单调性、分段函数以及有关三角的综合类问题．在解答时，首先要结合分类讨论研究好当x∈[3，5]时，f（x）的解析式，画出图象后再结合周期性将整个实属集上的图象画出，结合图象即可读出奇偶性又可知道函数在（0，1）上的单调性，进而问题即可获得解答．
【解析】
由题意函数f（x）的解析式为：
，
又因为在R上的f（x）满足f（x）=f（x+2），
所以函数是以2为周期的函数．
故函数在实数集上的图象如图，
由图象可知：函数为偶函数且在（0，1）上为减函数．
所以：∵α+β＜，
∴或
∴，同理sinβ＜cosα
所以：f（sinα）＞f（cosβ）、f（sinβ）＞f（cosα）
又知函数为偶函数，∴f（sin（-α））f（-sinα）=f（sinα），f（sin（-β））=f（sinβ）
所以①②③不正确．
故选D．