Question

已知点F是双曲线的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（1，+∞）
C．
D．

Answer

利用双曲线的对称性及锐角三角形∠ACF＜45°得到AF＜CF，求出A的坐标；求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．
【解析】
∵△ABC是锐角三角形
∴∠ACB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠ACF=∠BCF＜45°
∴AF＜CF
∵F为右焦点，设其坐标为（c，0）
所以A（ ）
所以AF=，CF=a+c
∴即c2-ac-2a2＜0
解得
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故选A．