Question

抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点、离心率的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线L经过椭圆C₂的右焦点F₂与抛物线L₁交于A₁，A₂两点．如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线L的斜率；
（3）是否存在实数m，使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．

Answer

（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，用点斜式设出直线L的方程，代入抛物线方程化简，
得到根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率 k的值．
（3）假设存在实数m，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，则|PF1|=2m+1，
|PF2|=2m-1，把代入椭圆方程求出m值．
【解析】
（1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率，c=1，
故 a=2，b=，故所求的椭圆方程为  ．
（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），
代入抛物线C1：y2=4x 化简得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴，x1x2=4，
∴|A1A2|=•= =6，解得  ．
（3）假设存在实数m，△PF1F2的边长是连续自然数，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，
则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．
把代入椭圆，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．