Question

已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，若g（x）=f（x+1）且g（x+4）•g（x）=-1，g（4）=2，则f（2007）=（ ）
A．
B．
C．-2
D．2

Answer

可由g（x+4）•g（x）=-1，判断g（x）为周期函数，可求得其周期；利用g（x）=f（x+1）将f（2007）转化为g（206），再由函数f（x）（x∈R）是偶函数，g（x）=f（x+1），g（4）=2，可求得f（2007）．
【解析】
∵g（x+4）•g（x）=-1，∴，∴，
∴g（x）是以8为周期的函数；
∵g（x）=f（x+1）∴f（2007）=g（2006）=g（250×8+6）=g（6）=g（-2），
又函数f（x）（x∈R）是偶函数，∴f（1）=g（0）=f（-1）=g（-2），
∴f（2007）=g（-2）=g（0）=g（8），又g（x+4）•g（x）=-1，g（4）=2，
∴=．
故选A．