Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）若a=4，求当x∈[2，5]时函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）若a=4，我们要以根据函数f（x）=x|x-a|+2x-3，根据x∈[2，5]，利用零点分段法，分别求出2≤x＜4时和4≤x≤5时，函数的最大值，进而根据分段函数最大值的定义得到答案．
（2）根据零点分段法，我们可以将函数f（x）=x|x-a|+2x-3的解析式化为分段函数的形式，结合二次函数的图象和性质，可以得到第一段函数的对称轴不小于a，而第二段函数的对称轴不大于a，进而构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，
若2≤x＜4，f（x）=-x2+6x-3=-（x-3）2+6
∴当x=3时，f（x）有最大值是f（3）=6…（4分）
若4≤x≤5，f（x）=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴当x=5时，f（x）有最大值是f（5）=12
故当x=5时，f（x）有最大值12                            …（8分）
（2）从已知…（10分）
依题意，，f（x）是R上的增函数       …（13分）