Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足x•f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（-1）+f（1）＜2f（0）
B．f（-1）+f（1）＞2f（0）
C．f（-1）+f（1）≤2f（0）
D．f（-1）+f（1）≥2f（0）

Answer

分x≥1和x＜1两种情况对xf′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=0时f（x）取得最小值，故问题得证．
【解析】
依题意，当x≥0时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，0）上是减函数，
故当x=0时f（x）取得最小值，即有
f（-1）≥f（0），f（1）≥f（0），
∴f（-1）+f（1）≥2f（0）．
故选D．