Question

已知函数f（x）=x³-x²+cx+d在x=2处取得极值．
（1）求c的值；
（2）当x＜0时，f（x）＜d²+2d恒成立，求d的取值范围．

Answer

（1）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，可求出满足条件的c值；
（2）利用导数可求函数f（x）=x3-x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=x3-x2-2x+d，
（2）∵f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），
∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值 ，
∵x＜0时，f（x）＜恒成立，
∴＜，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．