Question

右图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面），被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁
（II）求AB与平面AA₁CC₁所成角的大小．

Answer

法一：（1）要证明OC∥平面A1B1C1可利用线面平行的判定定理来证明则可过OD∥AA1交A1B1于D，连C1D则根据直三棱柱的性质和平行的传递性可得OD∥AA1交A1B1于D，并且根据梯形的中位线定理可得即可得ODC1C是平行四边形故OC∥C1D然后根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）过B作截面BA2C2∥面A1B1C1分别交AA1，CC1于A2，C2根据直三棱柱的性质可得面BA2C2⊥面AA1C1C然后根据面面垂直的性质定理和△A1B1C1的特征可得过B作面AA1C1C的垂线这垂足落在A2C2的中点H上则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角再利用条件解△AHB即可求解．
法二：可利用向量的有关知识来证明．根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）根据空间直角坐标系可求出且平面A1B1C1的一个法向量为再根据向量的数量积可得即可证明平面A1B1C1知OC∥平面A1B1C1．
（2）求出，和平面AA1C1C的一个法向量根据响亮的夹角公式可求出，，＜0故AB与平面AA1CC1所成角从而求出即θ=
【解析】
（Ⅰ）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．
则OD∥AA1交A1B1于D，连C1D因为O是AB的中点，
所以．
则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D，C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1
则OC∥面A1B1C1．         …．（7分）
（Ⅱ）【解析】
如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2，
作BH⊥A2C2于H，
因为平面A2BC2⊥平面AA1C1C，则BH⊥面AA1C1C．
连接AH，则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角．
因为，，所以．AB与面AA1C1C所成的角为．…．（14分）
解法二：
（Ⅰ）证明：如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因为O是AB的中点，所以，，
易知，是平面A1B1C1的一个法向量．
由且OC⊄平面A1B1C1知OC∥平面A1B1C1．
…．（7分）
（Ⅱ）设AB与面AA1C1C所成的角为θ．
求得，．
设是平面AA1C1C的一个法向量，则由得，
取x=y=1得：．
又因为，，
所以，，则．
所以AB与面AA1C1C所成的角为．…．（14分）