Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；

Answer

（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，再根据点（n，Sn）（n∈N*）均在函数
y=f（x）的图象上，求出an的递推关系式，
（Ⅱ）把（1）题中an的递推关系式代入bn，根据裂项相消法求得Tn，最后解得使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【解析】
（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由于f′（x）=6x-2，得
a=3，b=-2，所以f（x）=3x2-2x．
又因为点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，
所以Sn=3n2-2n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n2-2n）-[3（n-1）2-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5，
所以，an=6n-5（n∈N*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，
故Tn===（1-）．
因此，要使（1-）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，
所以满足要求的最小正整数m为10．