Question

已知函数 f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），g（x）=[f（x）]²+f（x²）．
（1）求函数g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值与最小值及相应的x值．

Answer

（1）由g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）得g（x）的解析式为g（x）=log32x+6log3x+6，由此能求出g（x）的定义域．
（2）因为 g（x）=log32x+6log3x+6=（log3x+3）2-3（1≤x≤3），又 0≤log3x≤1，所以当log3x=0即x=1时，g（x）min=6．由此能求出函数g（x）的最大值与最小值及相应的x值．
【解析】
（1）由g（x）=[f（x）]2+f（x2）
=（2+log3x）2+（2+log3x2），
得g（x）的解析式为g（x）=log32x+6log3x+6，
由，
得g（x）的定义域为 1≤x≤3．
（2）因为 g（x）=log32x+6log3x+6
=（log3x+3）2-3（1≤x≤3），
又 0≤log3x≤1，
所以当log3x=0，
即x=1时，
g（x）min=6；
当log3x=1，
即x=3时，
g（x）max=13．