Question

已知数列{a_n}满足 a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（2）证明是等差数列；
（3）设S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，求S的值．

Answer

（1）由an+2=4an+1-4an可得an+2-2an+1=2（an+1-2an），即可证．
（2）由（1）利用等比数列的通项可知，an+1-2an=2n+1，则，结合等差数列的定义可知是等差数列
（3）由，可得an=n•2n，考虑利用错位相减求和．
【解析】
（1）∵an+2=4an+1-4an∴an+2-2an+1=2（an+1-2an），
即，又 a2-2a1=4
∴数列{an+1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，an+1-2an=4•2n-1=2n+1，∴，又 ，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列．
（3）∵，∴an=n•2n，又 S=a1+a2+a3+…+a2010，
∴S=2+2•22+3•23+…+2010•22010①2S=22+2•23+3•24+…+2010•22011②
①-②得-S=2+22+23+…[phone]•22011=22011-2-2010•22011
∴S=2009•21011+2．