Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（I）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大小．

Answer

法一：（I）先证明直线AB1垂直平面A1BD内的两条相交直线BD、A1B，即可证明AB1⊥平面A1BD；
（II）设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，
说明∠AFG为二面A-A1B-B的平面角，然后求二面角A-A1D-B的大小．
法二：取BC中点O，连接AO，以0为原点，的方向为
x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，
即可证明AB1⊥平面A1BD．
求出平面A1AD的法向量为n=（x，y，z），为平面A1BD的法向量，
然后求二者的数量积，求二面角A-A1D-B的大小．
【解析】
法一：（I）取BC中点O，连接AO、
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1，
连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，
∴B1O⊥BD，
∴AB1⊥BD．
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
∴AB1⊥平面A1BD．

（II）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，
∴∠AFG为二面A-A1D-B的平面角、
在△AA1D中，由等面积法可求得AF=，又∵AG==，
∴sin∠AFG=，
所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin．

法二：（I）取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1、
取B1C1中点O1，以0为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），
∴
∵，
∴⊥⊥，
∴AB1⊥平面A1BD．

（II）设平面A1AD的法向量为=（x，y，z）、．
∵⊥⊥，
∴∵∴
令z=1得=（-，0，1）为平面A1AD的一个法向量．
由（I）知AB1⊥A1BD．
∴为平面A1BD的法向量．
cos＜，＞===-．
∴二面角A-A1D-B的大小为arccos．