Question

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（1）当AB⊥x轴时，求p，m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（2）若且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

Answer

（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，由此能够判断出C2的焦点坐标不在直线AB上．
（2）解法一：当C2的焦点在AB时，设直线AB的方程为y=k（x-1）．由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=．由AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以．由此入手能够求出直线AB的方程．
解法二：当C2的焦点在AB时，设直线AB的方程y=k（x-1）．由得．因为C2的焦点在直线y=k（x-1）上，所以．．由此入手能够求出直线AB的方程．
解法三：设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又是过C2的焦点，所以．由此入手能够求出直线AB的方程．
【解析】
（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）．
因为点A在抛物线上，所以，即．
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．（6分）
（2）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．…①
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=．
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以，且．
从而．
所以，即．解得．…（12分）
因为C2的焦点在直线y=k（x-1）上，所以．即．
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．…（15分）
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为y=k（x-1）．
由消去y得．…①
因为C2的焦点在直线y=k（x-1）上，
所以，即．
代入①有．即．…②
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1，x2是方程②的两根，
x1+x2=．
由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．…③
由于x1，x2也是方程③的两根，所以x1+x2=．
从而=．解得．…．（12分）
因为C2的焦点在直线y=k（x-1）上，
所以．
即．
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．…．（15分）
解法三 设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又是过C2的焦点，
所以．
即．…①
由（Ⅰ）知x1≠x2，
于是直线AB的斜率，…②
且直线AB的方程是y=-3m（x-1），
所以．…③
又因为，
所以．…④
将①、②、③代入④得，
即．…．（12分）
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．…．（15分）