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已知数列{an}的通项为an=logn+1(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a...

已知数列{an}的通项为an=logn+1(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1•a2•a3…an为整数的n叫做“优数”,则在(1,2010]内的所有“优数”的和为( )
A.1024
B.2003
C.2026
D.2048
由题意可得,a1•a2…an=log23•log34…logn+1(n+2)==log2(n+2),若使log2(n+2)为整数,则n+2=2k,在(1,2010]内的所有整数可求,进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求 【解析】 ∵an=logn+1(n+2) ∴a1•a2…an=log23•log34…logn+1(n+2) ===log2(n+2) 若使log2(n+2)为整数,则n+2=2k 在(1,2010]内的所有整数分别为:22-2,,23-2,…,210-2 ∴所求的数的和为22-2+23-2+…+210-2==2026 故选:C
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考点分析:
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