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已知a,b∈R,a2+b2≤4,求证:|3a2-8ab-3b2|≤20.

已知a,b∈R,a2+b2≤4,求证:|3a2-8ab-3b2|≤20.
由于a,b∈R,a2+b2≤4,故可采用换元法,转化为利用三角函数的值域进行求解. 证明:∵a,b∈R,a2+b2≤4,∴可设a=rsinα,b=rcosα,其中0≤r≤2. ∴|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2α-8sinαcosα-3sin2α|=r2|3cos2α-4sin2α| =5r2|cos(2α+φ)|≤5r2≤5×22=20. 故原不等式成立.
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考点分析:
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下列不等式的证明明过程:
①若a,b∈R,则 manfen5.com 满分网②若x,y∈R,则manfen5.com 满分网
③若x∈R,则manfen5.com 满分网
④若a,b∈R,ab<0,则manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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