Question

已知a，b∈R，a²+b²≤4，求证：|3a²-8ab-3b²|≤20．

Answer

由于a，b∈R，a2+b2≤4，故可采用换元法，转化为利用三角函数的值域进行求解．
证明：∵a，b∈R，a2+b2≤4，∴可设a=rsinα，b=rcosα，其中0≤r≤2．
∴|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2α-8sinαcosα-3sin2α|=r2|3cos2α-4sin2α|
=5r2|cos（2α+φ）|≤5r2≤5×22=20．
故原不等式成立．