Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N⁺）是等差数列，数列{b_n-2}（n∈N₊）是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．

Answer

（1）先求出等差数列的公差，再利用an+1-an=（a2-a1）+（n-1）×1=n-3，表示出an=a1+（a2-a1）+（a3-a1）+…+（an-an-1）即可求出数列{an}的通项公式；
同样先求出等比数列的公比，再利用即可求{bn}的通项公式；
（2）先求出f（k）=ak-bk的表达式，并找到其单调区间的分界点，求出其函数值的范围即可得出结论．
【解析】
（1）由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1
得公差d=-1-（-2）=1
所以an+1-an=（a2-a1）+（n-1）×1=n-3
故an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=6+（-2）+（-1）+0+…+（n-4）
=
=
由已知b1-2=4，b2-2=2所以公比
所以．
故
（2）设f（k）=ak-bk=
=
所以当k≥4时，f（k）是增函数．
又，所以当k≥4时，
而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使．