Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），a₁=1；
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=na_n，求S_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer

（1）通过数列的递推关系式，构造新数列为等比数列，然后求出通项公式．
（2）利用（1）推出bn，利用错位相减法求出n2n的前n项和，然后求出Sn=b1+b2+…+bn．
【解析】
（1）因为an+1=2an+n-1（n∈N*），所以an+1+（n+1）=2（an+n）（n∈N*），
所以数列{an+n}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，
所以an+n=2n，即an=2n-n．
（2）bn=nan=n2n-n2，设Cn=n2n，它的前n项和为Tn，
则Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，…①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1…②
②-①得，Tn=-2-（22+23+…+2n）+n×2n+1=（n-1）2n+1+2
所以Sn=b1+b2+…+bn=（n-1）2n+1+2-．