Question

已知函数（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的图象按向量平移后得到的图象关于原点对称．
（1）求a、b、c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求证不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer

（1）由f（x）的图象按向量平移后得到的图象关于原点对称，可以求出c的值；根据f（2）=2，f（3）＜3，
可以求出a、b的值；
（2）利用绝对值不等式的性质，证明左边大于等于2，右边小于2即可；
（3），再借助于二项式的系数的性质可证．
【解析】
（1）将f（x）的图象按向量平移后得到的解析式为
若关于原点对称，则当x=0时有意义，必有g（0）=0…（2分）
而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0
∵，∴，
∵，∴
∴，
又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴…（4分）
（2）
∵tx与同号，所以…（6分）
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2
∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）
（3）…（9分）
令，（x＞0）
则，…..①…..②
①②相加得
=…（12分）
≥2（Cn1+Cn2+…+Cnn-1）=2（2n-2）
∴g（x）≥2n-2，即[f（x+1）]n-f（xn+1）≥2n-2，当x=1时取等号…（14分）