Question

已知函数f（x）=2x+，且f（1）=1   
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer

（1）由题意，函数f（x）=2x+，且f（1）=1，可得方程2+a=1，解方程即可得到a的值；
（2）先判断f（-x）与f（x）的关系，再由定义得出函数的奇偶性；
（3）由函数解析式f（x）=2x-，知此函数是一个增函数，由定义法证明即可．
【解析】
（1）∵f（1）=1，
∴2+a=1，得a=-1
（2）函数的定义域是{x|x≠1}
又f（-x）=-2x-=-（2x+）=-f（x），所以，函数是奇函数
（3）由（1）f（x）=2x-，此函数在（1，+∞）上是增函数
任取1＜x1＜x2＜+∞，
f（X1）-f（x2）=（2 x1-）-（2x2-）=
由于1＜x1＜x2＜+∞，可得2x1x2+1＞0，x1-x2
∴f（X1）-f（x2）=＜0，
∴f（X1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．