Question

已知（a²+1）ⁿ展开式中各项系数之和等于（x²+）⁵的展开式的常数项，而（a²+1）ⁿ的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

Answer

由二项式定理通项公式知Tr+1=C5r（x2）5-r（）r=（）5-r•C5r•x．由20-5r=0，知r=4，由题意得2n=16，n=4．再由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，由此可求出a的值．
【解析】
由（x2+）5得，
Tr+1=C5r（x2）5-r（）r=（）5-r•C5r•x．
令Tr+1为常数项，则20-5r=0，
∴r=4，∴常数项T5=C54×=16．
又（a2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．
由题意得2n=16，∴n=4．
由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴C42a4=54，
∴a=±．