Question

设α，β是函数的两个极值点，且|α|+|β|=2．
（1）求证：0＜m≤1；α＜x＜2
（2）求n的取值范围；
（3）若函数g（x）=f′（x）-2m（x-α），当且α＜0时，求证：|g（x）|≤4m．

Answer

（1）求导数f'（x）=mx2+nx-m2根据α、β是f'（x）=0的两个实根，结合根与系数的关系得出从而得到：n2=4m2（1-m），进一步得到0＜m≤1；α＜x＜2．
（2）令h（m）=4m2（1-m）（0＜m≤1）利用导数研究它的单调性，从而得出h（m）最大最小值，从而求得n的取值范围；
（3）由于g（x）=m（x-α）（x-β-2），由|α|+|β|=2得α=β-2＞-2，从而g（x）=m（x-α）（x-α-4）结合基本不等式即可证得|g（x）|≤4m．
【解析】
（1）f'（x）=mx2+nx-m2
∵α、β是f'（x）=0的两个实根
∴（1分）
∴[|α|+|β|]2=α2+β2+2|αβ|=（α+β）2-2αβ+2|αβ|=（3分）
又|α|+|β|=2，∴
∴4m2（1-m）≥0（m＞0），∴0＜m≤1（15分）
（2）令h（m）=4m2（1-m）（0＜m≤1）
h'（m）=4m（2-3m）令h′（x）＞0，得0＜m＜，
∴h（m）在（0，）上是增函数，在（，1]上是减函数，∴h（m）最大为h（）=，
h（m）最小为0，∴0≤n2，∴-≤n≤．
（3）g（x）=m（x-α）（x-β-2），∵αβ=-m，α＜0，∴β＞0，
由|α|+|β|=2得：-α+β=2，∴α=β-2＞-2，
∴g（x）=m（x-α）（x-α-4），∵-2＜α＜x＜2，∴0＜x-α＜4，
|g（x）|=m|x-α||x-α-4|≤m[]2=4m，
∴|g（x）|≤4m．