Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
Ⅰ．对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；Ⅱ．f（1）=1；Ⅲ．若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．则称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．

Answer

（1）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（2）要判断函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数，只要检验函数g（x）=2x-1在[0，1]上是否满足[I]g（x）≥0；[Ⅱ]g（1）=1；[III]x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，有g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）
【解析】
（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），
得f（0）≥f（0）+f（0），化简可得f（0）≤0
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足[Ⅰ]g（x）≥0；[Ⅱ]g（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有
g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=
故g（x）=2x-1满足条件[1]、[2]、[3]，所以g（x）=2x-1为友谊函数．