Question

苍南县龙港镇一高档手套公司准备投入适当的广告费，对生产的手  套进行促销．在1年内，据测算年销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系式为S=（x＞0），已知手套的固定投入为3万元，每生产1万双手套仍需再投入16万元．
已知：年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%，年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费．
（Ⅰ）试将手套的年利润L（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（Ⅱ）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？

Answer

（1）手套的年成本为（16S+3）万元，年销售收入为（16S+3）×150%+x×50%，年利润L=（16S+3）×150%+x×50%-（16S+3）-x，整理即得；
（2）由利润函数L的解析式，利用基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0），可得L的最大值．
【解析】
（1）由题意知，手套的年成本为（16S+3）万元，…（1分）
年销售收入为（16S+3）×150%+x×50%，…（3分）
年利润L=（16S+3）×150%+x×50%-（16S+3）-x，…（5分）
即L=（16S+3-x），又S=3-
得L=（x＞0）．…（7分）
（2）由L==-（）≤=21.5，
当且仅当，即x=4时，L有最大值为21.5．
因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元．…（14分）