根据不共面的四个定点构造出三棱锥,再根据平面两侧的点的个数进行分类,利用三棱锥的结构特征进行求解即可.
【解析】
空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥D-ABC,
平面α到三棱锥D-ABC的四个定点距离相等,分成两类:
一类是:当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换低,则三棱锥由四种表示形式,
此时满足条件的平面个数是四个,
另一类是:当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱,因三棱锥的相对棱有三对,
则此时满足条件的平面个数是三个,
综上所述,满足条件的平面共有7个,
故答案为:7.