Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，n=1，2，3，…，其中A、B为常数．
（1）求A与B的值．
（2）证明数列{a_n}为等差数列．

Answer

（1）利用s1，s2，s3，结合（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，推出方程组直接求A与B的值．
（2）利用（1）化简（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，得到（5n-3）sn+2-（5n+7）sn+1=-20n-28，然后利用等差数列的定义，证明数列{an}为等差数列．
【解析】
（1）由已知得s1=a1=1，s2=a1+a2=7，s3=a1+a2+a3=18

（2）证明：由（1）知（5n-8）sn+1-（5n+2）sn=-20n-8①
所以（5n-3）sn+2-（5n+7）sn+1=-20n-28②
②-①得（5n-3）sn+2-（10n-1）sn+1+（5n+2）sn=-20③
所以（5n+2）sn+3-（10n+9）sn+2+（5n+7）sn+1=-20④
④-③得（5n+2）sn+3-（15n+6）sn+2+（15n+6）sn+1-（5n+2）sn=0
因为an+1=sn+1-sn，所以（5n+2）an+3-（10n+4）an+2+（5n+2）an+1=0
又因为5n+2≠0，所以an+3-2an+2+an+1=0，即an+3-an+2=an+2-an+1 n≥1，
又a3-a2=a2-a1=5．∴数列{an}为等差数列．