Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=2^n-1a_n（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知an+1=an+1，所以an=n
（Ⅱ）由题设条件知Sn=1×2+2×21+3×22++（n-1）×2n-2+n×2n-1，2Sn=1×21+2×22+3×23++（n-1）×2n-1+n×2n，再用错位相减法求解．
【解析】
（Ⅰ）因为点（）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上
所以an+1=an+1
根据等差数列的定义：{an}是首项为1，公差为1的等差数列
所以an=n
（Ⅱ）由已知bn=2n-1an=n2n-1
Sn=b1+b2+b3++bn-1+bn
=1×2+2×21+3×22++（n-1）×2n-2+n×2n-1①
2Sn=1×21+2×22+3×23++（n-1）×2n-1+n×2n②
①-②得-Sn=2+21+22++2n-2+2n-1-n×2n
=2n-1-n×2n（11分）Sn=（n-1）×2n+1