Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）证明：A₁C⊥平面BED；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer

（1）由于AA1∥BB1，∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角得到异面直线A1D与B1B所成角的正切值．
（2）根据空间直角坐标系个点坐标，即向量垂直计算，可得A1C⊥BD，A1C⊥DE又DB∩DE=D即可得得证．
（3）由（2）知向量为平面DBE的一个法向量，根据向量坐标计算，即可得到二面角A1-DE-B的余弦值．
【解析】
如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．，
（1）【解析】

∵AA1∥BB1
∴∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角
∵在Rt△AA1D中，A1A=4，AD=2
∴
即异面直线A1D与B1B所成角的正切值为
（2）证明：
∵，，
∴A1C⊥BD，A1C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A1C⊥平面DBE
（3）【解析】

由（2）知向量为平面DBE的一个法向量
设平面DA1E的法向量n=（x，y，z）
由，得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）
又二面角A1-DE-B为锐角
∴二面角A1-DE-B的余弦值为