Question

若函数f（x）=．
（1）若f（x）在x=1处的切线方程式y=-2x+3，这样的a是否存在？若存在，求出a的值，不存在说明理由．
（2）若f（x）在区间[1，3]上单调递增，求a的取值范围．

Answer

（1）要使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3则f′（1）=-2⇒a=0或1，再利用切点为（1，1）可解；
 （2）f（x）在区间[1，3]上单调递增等价于f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立，从而转化为a2-a-3≥（x-2x2）max，从而得解．
【解析】
（1）设存在实数a，使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3
则f′（1）=-2⇒a=0或1，
当
当
∴不存在这样的a．
（2）f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立⇔a2-a-3≥x-x2在x∈[1，3]上恒成立⇔a2-a-3≥（x-2x2）max，在x∈[1，3]⇒a2-a-3≥-1⇒a≥2或a≤-1