Question

设α、，则是sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立的（ ）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要的条件

Answer

利用同角三角函数的故选先判断出若成立能推出sin2α+sin2β=sin2（α+β）成立；再利用二倍角公式及和化积公式判断出若sin2α+sin2β=sin2（α+β）成立能推出．利用充要条件的定义得到答案．
【解析】
若成立，则有sin2α+sin2β=sin2α+=sin2α+cos2α=1；
sin2（α+β）=sin2=1，所以sin2α+sin2β=sin2（α+β）成立；
反之，若sin2α+sin2β=sin2（α+β）成立，则有=1-cos2（α+β）
即=cos2（α+β）
即cos（α+β）cos（α-β）=cos2（α+β）
所以cos（α+β）[cos（α+β）-cos（α-β）]=0，
所以cos（α+β）=0或[cos（α+β）=cos（α-β）]
所以或α=0或β=0，
又因为α、，
所以．
所以是sin2α+sin2β=sin2（α+β）成立的充要条件．
故选C．