Question

已知二次函数f（x）=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒数和为，求这个二次函数的解析式．

Answer

（1）写出与这个二次函数相对应的一元二次方程是x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0，根据＞0，得到方程有两个不相等的实数根，得到这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，确定x1+x2=2（m-1），x1•x2=m2-2m-3，把要求的代数式整理成只含有两个根之和与之积的形式，代入含有m的代数式，解关于m的方程即可．
（1）证明：与这个二次函数相对应的一元二次方程是x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0，
△=4（m-1）2-4（m2-2m-3）=16＞0，
所以，方程x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根，
所以，不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．（6分）
（2）【解析】
由题意，可知x1、x2是方程x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0的两个实数根，
所以，x1+x2=2（m-1），x1•x2=m2-2m-3，
又，即，
所以，，解得m=0或m=5．
所以，所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12．（12分）