Question

已知，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，球面被正方体的侧面BCC₁B₁，ABB₁A₁截得的两段弧分别为（如图所示），则这两段弧的长度之和等于    ．

Answer

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和．
【解析】
如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．
在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2×，AA1=1，
则∠A1AE=π/6．同理∠BAF=，所以∠EAF=，
故弧EF的长为：2××=，
而这样的弧共有三条．
在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为，∠FBG=，
所以弧FG的长为：=．
这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为：
3×=．
故答案为：．