Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF与BD相交于G．
（1）求证：平面EFB₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点B到平面B₁EF的距离．

Answer

（1）要证面EFB1⊥面BDD1B1，可先证明EF⊥平面BDD1B1，证出 EF⊥BD，EF⊥BB1即可．
（2）在平面BDD1B1中，作BH⊥B1G于为H，说明BH⊥面B1EF，BH就是点B到平面B1EF的距离，在Rt△B1BG中利用等面积法求出BH．
【解析】
（1）证明：∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，根据正四棱柱的性质EF⊥BB1，BD∩BB1=B，可知EF⊥平面BDD1B1，…（3分）
又EF⊂面B1EF，∴面EFB1⊥面BDD1B1…（7分）
（2）可知∴面EFB1⊥面BDD1B1，在平面BDD1B1中，作BH⊥B1G于为H，∵面EFB1⊥面BDD1B1，面EFB1∩面BDD1B1=B1G
∴BH⊥面B1EF，BH就是点B到平面B1EF的距离…（10分）
在Rt△B1BG中，B1B=4，BG=1，BH⊥B1G⇒BH=…（12分）