Question

正方形ABCD中，E为AB中点，F为BC中点，将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起，使A、B、C点重合于P点．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求PD与平面DEF所成角的余弦值的大小．

Answer

（1）要证线线垂直常证线面垂直而利用图形折前折后的关系可得DP⊥PF，DP⊥PE然后利用线面垂直的判定定理可得DP⊥平面PEF即可得PD⊥EF．
（2）要求PD与平面DEF所成角需找到过点P且垂直于面DEF的垂线由于PE=PF，DE=DF故可取EF中点G，连DG，PG作PH⊥DG于H易证PH⊥平面DEF故PD与平面DEF所成角为∠PDG然后在Rt△PDG中求出∠PDG的余弦值即可．
证明：（1）∵DP⊥PF，DP⊥PE
∴DP⊥平面PEF
∴PD⊥EF 
（2）取EF中点G，连DG，作PH⊥DG于H
∵E、F为中点
∴△ADE≌△CDF，故DE=DF，从而DG⊥EF
同理：EF⊥PG
又PG∩DG=G
∴EF⊥平面PDG，故EF⊥PH，从而PH⊥平面DEF
∴PD与平面DEF所成角为∠PDG
设正方形ABCD边长为2，则
PD=2，DE=DF=，EF=，DG=
在Rt△PDG中，