Question

已知f（x）是定义R在上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2），若f（1）=2，则f（2006）+f（2007）等于（ ）
A．2007
B．2006
C．2
D．0

Answer

令x=-2，得到f（-2）=0，故f（2）=0，故有f（x+4）=f（x），f（x）是周期等于4的周期函数，
由函数的周期性性及偶函数的性质求出式子的值．
【解析】
∵f（x）是定义R在上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，
可得 f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=0，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期等于4的周期函数，故 f（2006）+f（2007）=f（2）+f（3）=f（3）=
f（-1）=f（1）=2，
故选 C．