Question

已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

Answer

（1）连接D1B、BC1，则易得EF∥D1B故要证EF⊥B1C只需证D1B⊥B1C则根据正方体ABCD-A1B1C1D1中的性质易得D1B在平面BC1上的射影为BC1且BC1⊥B1C故根据三垂线定理即可得证．
（2）根据图形分析可知所求的二面角F-EG-C1的大小为钝角故可先求求其补角即二面角F-EG-D的大小．则根据正方体的性质可得取DC的中点M，连接FM，则FM⊥DC．过M做MN⊥EG于N点，连接FN，由三垂线定理可证FN⊥EG故∠MNF的邻补角为二面角F-EG-C1的平面角．然后结合题中的条件在Rt△FMN中，∠MNF=90°中即可求出∠MNF的三角函数值则二面角F-EG-C1的平面角即为此角的补角．
另外此题也可用空间向量来求解．可建立如图所示的空间直角坐标系且令AB=4
（1）可求出，再利用向量数量积的坐标计算可得=0即可证得EF⊥B1C．
（2）求出平面FEG的法向量为平面C1EG的法向量然后利用向量的夹角公式求出cos．如果cos＞0则所求的二面角F-EG-C1的大小为π-如果cos＜0则则所求的二面角F-EG-C1的大小为．
【解析】

解法一：
（Ⅰ）连接D1B、BC1
∵E、F是D1D、BD的中点，
∴EF∥D1B，且EF=
又∵D1C1⊥平面BC1
∴D1B在平面BC1上的射影为BC1．
∵BC1⊥B1C
∴由三垂线定理知B1C⊥D1B
∴EF⊥B1C
（Ⅱ）取DC的中点M，连接FM，则FM⊥DC．过M做MN⊥EG于N点，连接FN
∴由三垂线定理可证FN⊥EG
∴∠MNF的邻补角为二面角F-EG-C1的平面角
设正方体的棱长为4，则FM=2
在Rt△EDG中，△EDG～△MNG，
∴． 
在Rt△FMN中，∠MNF=90°
∴tan∠MNF=
∴∠MNF=arctan
∴二面角F-EG-C1的大小为
解法2：建立如图直角坐标系，令AB=4，则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D1（0，0，4），C1（0，4，4），E（0，0，2），F（2，2，0），G（0，3，0），B1（4，4，4）．          
（1）∵，
∵
（3）设平面FEG的法向量为，平面C1EG的法向量
∵
∴
故二面角F-EG-C1的大小为