Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）设E是CC₁的中点，试求出A₁E与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，我们易得A1B⊥AB1，AC1⊥A1B，由线面垂直的判定定理可得A1B⊥面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，结合垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）解法一：根据条件易知∠DA1E即为A1E与平面A1BD所成角，从而可求线面角；
解法二：以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，将线面角转化为利用两向量的夹角求解即可．
证明：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱
∴四边形ABB1A1为平行四边形
∵AB=B1B，∴平行四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，
又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，…（3分）
∴A1B⊥B1C1，又BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A．…（6分）
解法一：（Ⅱ）当点E为C1C的中点时DE∥AC1，
∵AC1平面A1BD，
∴DE⊥平面A1BD，
则∠DA1E即为A1E与平面A1BD所成角  …（9分）
在矩形ACC1A1中，由AC1⊥A1D
可知△A1AD≈△ACC1，则，…（11分）
故AB=BC，不妨设AB=2，则，
故A1E与平面A1BD所成角的正弦值为．…（14分）
解法二：在矩形ACC1A1中，由AC1⊥A1D
可知△A1AD≈△ACC1，则，故AB=BC，…（9分）
如图建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（0，2，1），
可得…（11分）
由题意可知即为平面A1BD的一个法向量，
故A1E与平面A1BD所成角的正弦值为．…（14分）