Question

 如图，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大小；
（3）求三棱锥D-AMN的体积．

Answer

（1）利用BCD是矩形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点，可得等腰三角形根据等腰三角形的性质可知MN⊥AB；
（2）先判断∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，再利用PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，即可求得二面角P-CD-A的大小；
（3）利用等体积转化，利用VD-AMN=VN-AMD可求三棱锥D-AMN的体积．
【解析】
（1）∵PA⊥面ABCD，ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…（2分）
又N为PC的中点，∴
∴AN=BN…（4分）
而M是AB的中点，∴MN⊥AB   …（5分）
（2）由PD=AB=DC，N是PC的中点得：ND⊥PC，
又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC   …（7分）
Rt△MPA≌Rt△MCB，
∴PA=BC=2
即PA=AD=2，∠PDA=45°，…（9分）     
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…（10分）
（3）N到平面AMD的距离…（12分）
所以…（14分）